Vekselstrøm – Serie-, parallel- og blandede forbindelser

Dette er den praktiske del af vekselstrømsteorien. Her sætter vi impedansen, faseforskydningen og effekterne i spil i konkrete kredsløb — serieforbindelser, parallelforbindelser og blandede forbindelser.

Alle beregninger er gennemregnet med både pythagorasmetoden og vektorberegning, så du kan vælge den metode der passer bedst til din uddannelse og din lommeregner. Fremgangsmåder og kontroltjek guider dig trin for trin, så du undgår de mest almindelige fejl.

Forudsætningerne er styr på impedans og reaktans (del 1) og faseforskydning og effekter (del 2). Klar til at gå videre efter dette? Læs 3-faset vekselstrømsteori.

3-faset vekselstrømsteori

Fasekompensering – Teori og virkemåde

Læs mere »

Vekselstrømsteori

Vekselstrøm (AC) – teori, impedans og reaktans

Læs mere »

Vekselstrømsteori

Faseforskydning og effekter i vekselstrøm

Læs mere »

Serieforbindelser

Princippet og fremgangsmåden til beregning af vekselstrøms serieforbindelse er ens med jævnstrømskredse.

💡 Reference i serieforbindelser: Strømmen bruges som reference og placeres i 0°. Spændingsfaldet over resistansen er altid i fase med strømmen.

Strømmen er konstant gennem kredsløbet, og komponenter i kredsløbet skaber et spændingsfald over dem.

Forskellen på jævnstrøms serieforbindelser og vekselstrøm serieforbindelser er spole- og kondensatoreffekterne der forskyder strøm og spænding. Det har dermed indflydelse på beregningerne af kredsløbet. I dette indlæg vil jeg forklare to forskellige måder, hvorpå du kan beregne vekselstrøm serieforbindelser. Det er ved anvendelse af vektorberegning, der anvendes ofte på højere uddannelsesniveauer, og almindelig pythagoras der oftest anvendes på erhvervsskolerne.

Figur 14 viser en serieforbindelse indeholdende en resistans, en induktiv reaktans og en kapacitiv reaktans. Dermed repræsenteres de tre forskellige belastningstyper. Grundet forskydningen af de forskellige strømme, skal belastningerne lægges sammen med vinkler.

Da vi ved fra jævnstrømsteorien, at strømmen er ens i hele kredsløbet, anvender vi også strømmen ( $I$ ) som vores reference i vores vektordiagram. Strømmen placeres derved i 0 grader (Figur 15).

Figur 15: Spændingsplacering i Serieforbindelse ved vekselstrøm

Den resistive belastning ( $R$ ) ligger altid i fase med strømmen, og dermed med en vinkel på 0 grader i forhold til strømmen. Dette er illustreret med den orange pil på figur 15 ( $U_R$ ). Ved en induktiv belastning er strømmen altid 90 grader bagud i forhold til spændingen. Derfor vil spændingen have en vinkel på 90 grader, hvilket vises med den mørkeblå pil ( $U_L$ ). Den sidste del er den kapacitive belastning, hvor strømmen er 90 grader foran spændingen, og dermed er spændingen 90 grader forskudt bagud. Dette vises ved den grønne pil ( $U_C$ ).

Beregning af impedans, resistans og reaktans i serieforbindelser

Først beregnes den kapacitive og induktive reaktans:

$X_L=2\pi*f*L\space \ [\Omega]$

$X_C=\frac{1}{2\pi*f*C} \ [\Omega]$

Har vi alle reaktanser og vores resistanser, kan vi beregne vores impedans. Dette kræver, at vi beregne det ud fra, at reaktanser og resistanser er placeret som figur 16. Derved kan de ikke lægges sammen almindeligvis, men skal i stedet lægges sammen med vinkler. Vi kan enten anvende pythagoras eller vektorberegning til dette.

Beregning af impedansen ud fra pythagoras.

$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2} \ [\Omega]$

Har vi en større induktiv belastning, trække vi den kapacitive reaktans fra den induktive. Er den kapacitive størst trækkes den induktive reaktans fra den kapacitive.

Den ovenstående beregnede impedans kan sammen med resistansen anvendes til at beregne faseforskydningsvinkel i kredsløbet.

$\angle \phi=cos^{-1}(\frac{R}{Z}) \ [^{\circ}]$

Ved en induktiv belastning af vi en positiv vinkel, og ved en kapacitiv belastning får vi en negativ vinkel.

Vektorielt beregning

Ved vektorielt beregningerne, kan beregning forkortes til en ligning. Dette optimerer beregningen, hvilket blandt andet kan være nyttig ved elinstallatørprøven, hvor tiden er en stor faktor.

$\begin{align*}&\vec Z=\vec R+\vec X_L+\vec X_C \\&\vec Z=(R\angle 0^{\circ})+(X_L \angle 90^{\circ})+(X_C \angle -90 ^{\circ}) \ [\Omega]\end{align*}$

Herefter kommer $\vec Z$ ud i ohm, sammen med den faseforskydningsvinkel. Dette giver samme resultat som pythagoras beregninger. Ender du ud med en negativ vinkel, har du en kapacitiv belastning, imens du har en induktiv belastning, hvis vinklen er positiv.

Beregning af strømmen i serieforbindelser

Har du i en serieforbindelse beregnet strømmen, åbnes ofte muligheden for at beregne de fleste værdier. Det skyldtes at strømmen er referencen, og derved en af de centrale elementer. Beregning af strømmen kan blandt andet foregå ud fra Ohms lov. Du skal blot kende den påtrykte spænding eller en af komponenternes spændingsfald. Derudover kan strømmen ligeledes beregnes med effekterne. Formlerne er vist i boksen herunder.

Almindelig beregning

Beregninger ud fra spændingen

$\begin{align*}&I=\frac{U}{Z} \ [A] \\&I=\frac{U_L}{X_L} \ [A]\\&I=\frac{U_C}{X_C} \ [A] \\&I=\frac{U_R}{R} \ [A]\end{align*}$

Beregninger ud fra effekten

$\begin{align*}&I=\frac{S}{U} \ [A] \\&I=\frac{Q_L}{U_L} \ [A]\\&I=\frac{Q_C}{U_C} \ [A] \\&I=\frac{P}{U} \ [A]\end{align*}$

Vektorielt beregning

Beregninger ud fra spændingen

$\begin{align*}&\vec I=\frac{\vec U}{\vec Z} \ [A] \\&\vec I=\frac{\vec U_L}{\vec X_L} \ [A]\\&\vec I=\frac{\vec U_C}{\vec X_C} \ [A] \\&\vec I=\frac{\vec U_R}{\vec R} \ [A]\end{align*}$

Beregninger ud fra effekten

$\begin{align*}&\vec I=\frac{\vec S}{\vec U^*} \ [A] \\&\vec I=\frac{\vec Q_L}{\vec U_L^*} \ [A]\\&\vec I=\frac{\vec Q_C}{\vec U_C^*} \ [A] \\&\vec I=\frac{\vec P}{\vec U^*} \ [A]\end{align*}$

Strømmens vinkel vil ende ud med 0 grader, hvis vi har valgt at reference punktet er 0 grader. Strømmens reference punkt kan være en hvilken som helst vinkel. Dog er det nemmeste at beregne, hvis denne er 0 grader. Senere når vi skal beregne på blandede forbindelser, vil strømmens reference punkt kunne have en anden vinkel end 0 grader.

Beregning af spænding i serieforbindelser

Ved jævnstrøms serieforbindelser lærte vi, at hver modstand skaber et spændingsfald. Dette er stadigvæk gældende. Ved vekselstrøm skabes der et spændingsfald over resistanser og reaktanser. Spændingsfaldene er dog ikke i vinkel, da der som sagt er sket en forskydning af strøm og spænding. Derved vil spændingerne placeres som på figur 17, hvor den resistive spændingsfald ligger i fase, og de reaktive spændingsfald er 90 grader forskudt henholdsvis forud og bagud. Den kapacitive og induktive spændingsfald modvirker hinanden som tidligere nævnt.

Det er stadigvæk muligt at beregne de enkelte spændingsfald på følgende måde og den samlede spændingsfald ud fra følgende principper.

Almindelig beregning

De enkelte spændingsfald

$\begin{align*}&U_R=I*R \ [V] \\&U_L=I*X_L \ [V] \\&U_C=I*X_C \ [V]\end{align*}$

Derudover kan den samlede spændingsfald, hvilket svarer til den påtrykte spændingsfald, beregnes på følgende måder:

Den samlede spændingsfald

$\begin{align*}&U=I*Z \ [V] \\&U=\sqrt{U_R^2+(U_L-U_C)^2} \ [V]\end{align*}$

Den største af de reaktive spændingsfald ( $U_L$ eller $U_C$ ) skal stå først.

Vektorielt beregning

De enkelte spændingsfald

$\begin{align*}&\vec U_R=\vec I*\vec R=(I \angle 0^\circ)*(R\angle 0^\circ) \ [V] \\&\vec U_L=\vec I*\vec X_L=(I \angle 0^\circ)*(X_L\angle 90^\circ) \ [V] \\&\vec U_C=\vec I*\vec X_C=(I \angle 0^\circ)*(X_C\angle -90^\circ) \ [V]\end{align*}$

Derudover kan den samlede spændingsfald, hvilket svarer til den påtrykte spændingsfald, beregnes på følgende måder:

Den samlede spændingsfald

$\begin{align*}&\vec U=\vec I*\vec Z=(I \angle 0^\circ)*(Z\angle \phi^\circ) \ [V] \\&\vec U=\vec U_R+\vec U_L+\vec U_C \\&\Updownarrow \\&\vec U=(U_R \angle 0^\circ)+(U_L \angle 90^\circ)+(U_C \angle -90^\circ) \ [V]\end{align*}$

Endes resultat ud med en negativ vinkel, vil belastningen være kapacitiv, hvorimod en positiv vinkel viser, at det er en induktiv belastning vi har.

Vinklen på den samlede spænding er lige med faseforskydningsvinklen, og derved er vinklen lig med impedansen ( $Z$ ) vinkel.

Effekter ved serieforbindelse

De sidste dele, vi kan beregne er effekterne. Som jeg beskrev i indlægget omkring vekselstrømsteori, findes der 3 forskellige effekter. De relaterer til effekten i resistanser (virkeeffekten), effekter i reaktanser (reaktive effekt) og den samlede effekt (tilsyneladende effekt).

De forskellige effekter kan beregnes individuelt. Virkeeffekten, den vi betaler for, beregnes ud fra den resistive belastning. Den reaktive effekt opstår ved spole og kondensator, hvilket vil sige induktive og kapacitive belastninger.

Almindelig beregning

De enkelte effekter kan beregnes ud fra effektloven.

$\begin{align*}&P=U*I*cos\phi=U_R*I \ [W] \\&Q_L=U_L*I \ [var] \\&Q_C=U_C*I \ [var] \\&Q=Q_L-Q_C=U*I*sin\phi=(U_L-U_C)*I \ [var]\end{align*}$

$Q_C$ og $Q_L$ modarbejder hinanden. Igen her er det gældende, at du trækker den mindste værdi fra den største.

Herefter kan den samlede effekt (tilsyneladende effekt) beregnes. Det er den effekt vi dimensionere anlæg efter.

$\begin{align*}&S=U*I \ [VA] \\&S=\sqrt{P^2+Q^2} \ [VA]\end{align*}$

Vektorielt beregning

De enkelte effekter kan beregnes ud fra effektloven.

$\begin{align*}&\vec P=\vec U_R*\vec I^* \ [W] \\&\vec Q_L=\vec U_L*\vec I^* \ [var] \\&\vec Q_C=\vec U_C*\vec I^* \ [var] \\&\vec Q=\vec Q_L+\vec Q_C=(\vec U_L+ \vec U_C)*\vec I^* \ [var]\end{align*}$

Herefter kan den samlede effekt (tilsyneladende effekt) beregnes. Det er den effekt vi dimensionere anlæg efter.

$\begin{align*}&\vec S=\vec U*\vec I^* \ [VA] \\&\vec S=\vec P+\vec Q=\vec P+\vec Q_L+\vec Q_C\ [VA]\end{align*}$

Det var en gennemgang af formler til beregning af værdier i en serieforbindelse. Herunder finder du eksempler på beregninger med rigtige værdier.

Beregningseksempler – Serieforbindelse

Eksempel 1: Beregning af spændingsfaldende

En spole, en kondensator og en resistans tilsluttes i serie. Der måles et spændingsfald på 120Volt over resistansen ( $U_R$ ), 90 Volt over spolen ( $U_L$ ) og 30 Volt over kondensatoren ( $U_C$ ) (Det antages at spole og kondensator er rene spole og kondensator effekter). Hvor stor er den samlede spændingsfald og dermed den påtrykte spænding?

Almindelig beregning

For at beregne den samlede spændingsfald, skal vi først klarlægge om det er en induktiv eller kapacitiv belastning. Da vi har en større spændingsfald over $U_L$ end $U_C$ må belastningen være induktiv. Derved trækker vi den kapacitive belastning fra den induktive.

Derved beregner vi spændingsfaldet på følgende måde:

$\begin{align*}&U=\sqrt{U_R^2+(U_L-U_C)^2} \\&\Updownarrow \\&U=\sqrt{120^2+(90-30)^2}=134,16 \ [V]\end{align*}$

Vektorielt beregning

Vektorielt lægges alle spændingerne sammen med vinklerne.

$\begin{align*}&\vec U=\vec U_R+\vec U_L+\vec U_C \\&\Updownarrow \\&U=(120 \angle 0^{\circ})+(90 \angle 90^{\circ})+(30 \angle -90^{\circ})=134,16 \ [V] \angle 26,57 ^{\circ}\end{align*}$

Da vi ender ud med en positiv vinkel, kan vi konkluderer, at det er en induktiv belastning vi har.

Eksempel 2: Beregning af et induktiv kredsløb

En serieforbindelse med en resistans på 1250 ohm, to induktanser på henholdsvis 3 og 2 Henry og en kapacitans på 35 mikro Farad er tilsuttet et 50 hz 230 Volts net. Det antages at spolerne er rene induktive belastninger. Beregn spændingsfaldene, strømmen, effekterne, reaktanserne, resistanserne og impedanserne. Beregn derudover kredsløbets faseforskydningsvinkel og cosphi.

Da vi har opgivet frekvens, spænding, resistansen, induktanserne og kapacitansen, er første skridt at få beregnet en samlet impedans. Det kræver, at vi kender reaktanserne. Derfor beregner vi først disse:

$X_{L1}=2\pi*f*L_1=2*\pi*50*3=942,48 [\Omega]$

$X_{L2}=2\pi*f*L_2=2*\pi*50*2=628,32 [\Omega]$

De induktive reaktanser har en forskydning på 90 grader. Hvilket skal bruges ved vektorielt beregning.

$X_C=\frac{1}{2\pi*f*C}=\frac{1}{2\pi*50*35*10^{-6}}=90,95 [\Omega]$

Den kapacitive reaktans har en faseforskydning på -90 grader.

Vi har nu beregnet alle reaktanser, og har samtidig resistansen opgivet. Derved kan vi beregne vores impedans, da alle øvrige parameter i impedanstreakanten er kendt.

Almindelig beregning

Ved hurtig at skimte reaktanternes størrelse kan vi konkludere, at den induktive del er større end den kapacitive del. Derved trækkes den kapacitive reaktans fra den induktive.

$\begin{align*}&Z=\sqrt{R^2+(X_{L1}+X_{L2}-X_C)^2} \\&\Updownarrow \\&Z=\sqrt{1250^2+(942,48+628,32-90,95)^2}=1937,13 \ [\Omega]\end{align*}$

Vi kan nu beregne kredsløbets faseforskydning og cosphi:

$\begin{align*}& cos\phi=\frac{R}{Z}=\frac{1250}{1937,17}=0,6453 \\& \angle \phi=cos^{-1}(0,6453)=49,81^{\circ}\end{align*}$

Vektorielt beregning

Ved beregning vektorielt, kan alle reaktanserne og resistansen lægges sammen med vinklerne.

$\begin{align*}&\vec Z=\vec R+\vec X_{L1}+\vec X_{L2}+\vec X_C \\&\Updownarrow \\&\vec Z=(1250\angle 0^{\circ})+(942,48\angle 90^{\circ})+(628,32 \angle 90^{\circ})+(90,95\angle -90^{\circ}) \\&\Updownarrow \\&\vec Z=1937,13 \ [\Omega]\angle 49,81^{\circ}\end{align*}$

Ud fra vinklen i ovenstående beregning kan cos $\phi$ beregnes.

$cos\phi=cos(49,81)=0,6453$

Ud fra Ohms lov kan vi konkludere, at hvis strømmen, der er referencepunktet, er placeret i 0 grader, så er spændingens faseforskydning lig med impedansen faseforskydning. Når man gange to værdier, lægges vinklerne sammen. Dette kan eksempelvis udtrykkes på følgende måde:

$U=I*Z \Leftrightarrow \angle U=\angle I + \angle Z=0+\angle Z=\angle Z$

Vi kan herefter beregne kredsløbets strøm ud fra Ohms lov

Almindelig beregning

$I=\frac{U}{Z}=\frac{230}{1937,13}=0,12 [A]$$

Vektorielt beregning

$\vec I=\frac{\vec U}{\vec Z}=\frac{230\angle 49,81^{\circ}}{1937,13\angle 49,81^{\circ}}=0,12 [A] \angle 0^{\circ}$

Herefter kan de enkelte spændingsfald over komponenterne beregnes. Det gøres igen med Ohms lov:

Almindelig beregning

$\begin{align*}&U_R=I*R=0,12*1250=148,40 \ [V] \\&U_{L1}=I*X_{L1}=0,12*942,48=111,90 \ [V] \\&U_{L2}=I*X_{L2}=0,12*628,32=74,60 \ [V] \\&U_C=I*X_C=0,12*90,95=10,80 \ [V]\end{align*}$

Vi kan herefter kontrollere os selv, ved at beregne den påtrykte spændingsfald, hvilket er den samme som den samlede spændingsfald.

$\begin{align*}&U=\sqrt{U_R^2+(U_{L1}+U_{L2}-U_C)^2} \\&\Updownarrow \\&U=\sqrt{148,40^2+(111,90+74,60-10,80)^2}=230 \ [V]\end{align*}$

Vektorielt beregning

$\begin{align*}&\vec U_R=\vec I*\vec R=(0,12\angle 0^{\circ})*(1250\angle 0^{\circ})=148,40 \ [V] \angle 0^{\circ} \\&\vec U_{L1}=\vec I*\vec X_{L1}=(0,12\angle 0^{\circ})*(942,48\angle 90^{\circ})=111,90 \ [V] \angle 90^{\circ} \\&\vec U_{L2}=\vec I*\vec X_{L2}=(0,12\angle 0^{\circ})*(628,32\angle 90^{\circ})=74,60 \ [V] \angle 90^{\circ} \\&\vec U_C=\vec I*\vec X_C=(0,12\angle 0^{\circ})*(90,95\angle -90^{\circ})=10,80 \ [V] \angle -90^{\circ}\end{align*}$

Vi kan herefter kontrollere os selv, ved at beregne den påtrykte spændingsfald, hvilket er den samme som den samlede spændingsfald.

$\begin{align*}&\vec U=\vec U_R+\vec U_{L1}+\vec U_{L2}+\vec U_C \\&\Updownarrow \\&\vec U=(148,40\angle 0^{\circ})+(111,90\angle 90^{\circ})+(74,60\angle 90^{\circ})+(10,80\angle -90^{\circ}) \\&\Updownarrow \\&\vec U=230 \ [V] \angle 49,81^{\circ}\end{align*}$

Derved får vi de opgivet 230V og den samme vinkel som beregnet tidligere. Derved kan vi konstaterer at vores beregninger er korrekte.

Det sidste vi mangler er at beregne vores effekter i kredsløbet.

Vi kan beregne de enkelte effekter, og lægge den sammen efterfølgende. Vi kan også – ud fra strøm og spænding – beregne den samlede effekt for hele kredsløbet.

Almindelig beregning

$\begin{align*}&P=U_R*I=148,40*0,12=17,62 \ [W] \\&Q_ {L1}=U_{L1}*I=111,90*0,12=13,27 \ [var] \\&Q_ {L2}=U_{L2}*I=74,60*0,12=8,86 \ [var] \\&Q_ C=U_C*I=10,80*0,12=1,28 \ [var]\end{align*}$

Derved kan de tilsyneladende effekt beregnes på følgende to måder:

$\begin{align*}& S=\sqrt{P^2+(Q_{L1}+Q_{L2}-Q_C)^2} \\&\Updownarrow \\& S=\sqrt{17,62^2+(13,27+8,86-1,28)^2}=27,30 \ [VA] \\\\& S=U*I=230*0,12=27,3 \ [V]\end{align*}$

Vektorielt beregning

$\begin{align*}& \vec P=\vec U_R*\vec I^*=(148,40 \angle 0^\circ)*(0,12\angle 0^\circ)=17,62 \ [W]\angle 0^\circ \\& \vec Q_ {L1}=\vec U_{L1}*\vec I^*=(111,90\angle 90^\circ)*(0,12\angle 0^\circ)=13,27 \ [var]\angle 90^\circ \\& \vec Q_ {L2}=\vec U_{L2}*\vec I^*=(74,60\angle 90^\circ)*(0,12\angle 0^\circ)=8,86 \ [var]\angle 90^\circ \\& \vec Q_ C=\vec U_C*\vec I^*=(10,80\angle -90^\circ)*(0,12\angle 0^\circ)=1,28 \ [var]\angle -90^\circ\end{align*}$

Derved kan de tilsyneladende effekt beregnes på følgende to måder:

$\begin{align*}&\vec S=\vec P+\vec Q_{L1}+\vec Q_{L2}+\vec Q_C \\&\Updownarrow \\&\vec S=(17,62\anlge 0^{\circ})+(13,27\anlge 90^{\circ})+(8,86\anlge 90^{\circ})+(1,28\anlge -90^{\circ}) \\&\Updownarrow \\&\vec S=27,30 \ [VA] \anlge 49,81^\circ \\&\\&\vec S=\vec U*\vec I^*=(230\angle 49,81^\circ)*(0,12\angle 0^\circ)=27,30 \ [VA] \angle 49,81^\circ\end{align*}$

Derved har vi beregnet alle parameter i eksemplet.

[su_related_post_in_text][bibblio style=” bib–white-label bib–row-4 bib–title-only bib–portrait bib–square” query_string_params=e30=][/su_related_post_in_text]

Parallelforbindelse

Ved parallelforbindelser er det ikke strømmen, der er den faste værdi, men derimod spændingen. Det betyder også, at spændingen nu er vores reference. For at gøre det nemt for os selv, antager vi, at spændingen altid ligger i 0 grader. Begynder vi at beregne på blandede forbindelser, vil spændingen ikke altid nødvendigvis være i 0 grader.

Beregning af spænding i vekselstrøms parallelforbindelser

Hvis vi har ikke har fået vores spænding opgivet, er vi nød til at beregne denne. Den er nemlig en af de vigtige parameter, da den er ens for alle komponenter. Kender vi blot to elementer, effekt, strøm eller resistans/reaktans, for et komponent, har vi mulighed for at beregne den samlede spændingsfald. Den samlede spændingsfald er samtidig lig med spændingsfaldet over alle komponenterne.

Vi kan derved beregne spændingen på en af følgende måder:

Almindelig beregning

Ved kendt modstand og strøm

$\begin{align*}&U=U_R=I_R*R \ [V] \\&U=U_L=I_L*X_L \ [V] \\&U=U_C=I_C*X_C \ [V] \\&U=I*Z \ [V]\end{align*}$

Ved kendt effekt og strøm

$\begin{align*}&U=U_R=\frac{P}{I_R} \ [V] \\&U=U_L=\frac{Q_L}{I_L} \ [V] \\&U=U_C=\frac{Q_C}{I_C} \ [V] \\&U=\frac{S}{I} \ [V]\end{align*}$

Vektorielt beregning

Ved kendt modstand og strøm

$\begin{align*}&\vec U=\vec U_R=\vec I_R*\vec R \ [V] \\&\vec U=\vec U_L=\vec I_L*\vec X_L \ [V] \\&\vec U=\vec U_C=\vec I_C*\vec X_C \ [V] \\&\vec U=\vec I*\vec Z \ [V]\end{align*}$

Ved kendt effekt og strøm

$\begin{align*}&\vec U=\vec U_R=\frac{\vec P}{\vec I_R^*} \ [V] \\&\vec U=\vec U_L=\frac{\vec Q_L}{\vec I_L^*} \ [V] \\&\vec U=\vec U_C=\frac{\vec Q_C}{\vec I_C^*} \ [V] \\&\vec U=\frac{\vec S}{\vec I^*} \ [V]\end{align*}$

Beregning af strøm i vekselstrøms parallelforbindelser

Når vi snakker parallelforbindelse, har vi ikke længere en fast strøm. Strømmen deler og samler sig i de forskellige knudepunkter i en parallelforbindelse. Dermed kan vi beregne de forskellige strømme, og efterfølgende lægge dem sammen. Den samlede strøm findes ved at beregne den ud fra at strømmene er forskudt i henhold til figur 22.

Vinklerne på strømmen gennem resistansen er 0 grader, fordi en ren resistans ikke forskyder strøm og spænding. Vinklen på strømmen gennem spole er -90 grader, grundet strømmen er forsinket i forhold til spænding. Til sidst er vinklen på strømmen gennem kondensatoren +90 grader, grundet strømmen er 90 grader foran. Bemærk at strømmens vinkel fortegn altid er modsat af, hvad fortegnet er ved spænding og modstande. Dette skyldtes, at vi har spænding som reference fremfor strømmen.

Almindelig beregning

De enkelte strømme beregnes på følgende måde

$\begin{align*}&I_R=\frac{U}{R} \ [A] \\&I_L=\frac{U}{X_L} \ [A] \\&I_C=\frac{U}{X_C} \ [A]\end{align*}$

Den samlede strøm kan beregnes på følgende to måder:

$\begin{align*}&I=\frac{U}{Z} \ [A] \\&I=\sqrt{I_R^2+(I_L-I_C)^2} \ [A]\end{align*}$

Den mindste strøm af den kapacitive og induktive del trækkes fra den den anden.

Vektorielt beregning

De enkelte strømme beregnes på følgende måde

$\begin{align*}&\vec I_R=\frac{\vec U}{\vec R} \ [A] \\&\vec I_L=\frac{\vec U}{\vec X_L} \ [A] \\&\vec I_C=\frac{\vec U}{\vec X_C} \ [A]\end{align*}$

Den samlede strøm kan beregnes på følgende to måder:

$\begin{align*}&\vec I=\frac{\vec U}{\vec Z} \ [A] \\&\vec I=\vec I_R+\vec I_L+\vec I_C \ [A]\end{align*}$

Beregning af impedans og reaktans i vekselstrøms parallelforbindelser

For at beregne de forskellige reaktanser i kredsløbet, gør vi som vi gjorde ved serieforbindelser, og beregner den ud fra induktansen og kapacitansen.

$X_L=2\pi*f*L\space \ [\Omega]$

$X_C=\frac{1}{2\pi*f*C} \ [\Omega]$

Herefter bliver det en anderledes fremgangsmåde end serieforbindelse. Da vi normalt beregner modstanden ved hjælp af en reciprok værdi, er det svært at overføre det til trekantsberegninger. Derfor er vores eneste måde at beregne den samlede impedans på ved at anvende Ohms lov. Fremgangsmåden er derfor, at du skal beregne spændingsfaldet over en af komponenter, som så er lig med spændingsfald over de øvrige komponenter. Derefter skal vi have beregnet den samlede strøm, før det er muligt at beregne impedansen.

Almindelig beregning

Beregning af impedansen ud fra Ohms lov:

$Z=\frac{U}{I} \ [\Omega]$

Vektorielt beregning

Beregning af impedansen ud fra Ohms lov:

$\vec Z=\frac{\vec U}{\vec I} \ [\Omega]$

Beregning af effekter

Til sidst skal vi have beregnet effekterne. Fremgangsmåden er den samme som ved serieforbindelse, men bliver forklaret her igen. Effekter deles op i tre grupper: Virkeeffekt (P), reaktiv effekt (Q) og tilsyneladende effekt (S). Virkeeffekten er den effekt en resistans optager. Reaktiv effekten er resultatet af den kapacitive og induktive effekt. De modvirker hinanden og derfor kan den reaktiv effekt minimeres, hvis du justerer enten spole- eller kondensatorstørrelsen. Den tilsyneladende effekt er resultatet af alle effekterne lagt sammen vektorielt.

For at beregne på effekter, kan vi igen anvende trekanten på figur 23, og fremgangsmåden er derved ens med det vi lærte tidligere. Hvordan vi beregner de forskellige effekter kan ses herunder:

Almindelig beregning

De enkelte effekter kan beregnes ud fra effektloven.

$\begin{align*}&P=U*I*cos\phi=U*I_w \ [W] \\&Q_L=U*I_L \ [var] \\&Q_C=U*I_C \ [var] \\&Q=Q_L-Q_C=U*I*sin\phi=U*I_{wl} \ [var]\end{align*}$

$Q_C$ og $Q_L$ modarbejder hinanden. Igen her er det gældende, at du trækker den mindste værdi fra den største.

Herefter kan den samlede effekt (tilsyneladende effekt) beregnes. Det er den effekt vi dimensionere anlæg efter.

$\begin{align*}&S=U*I \ [VA] \\&S=\sqrt{P^2+Q^2} \ [VA]\end{align*}$

Vektorielt beregning

De enkelte effekter kan beregnes ud fra effektloven.

$\begin{align*}&\vec P=\vec U*\vec I_w^* \ [W] \\&\vec Q_L=\vec U*\vec I_L^* \ [var] \\&\vec Q_C=\vec U*\vec I_C^* \ [var] \\&\vec Q=\vec Q_L+\vec Q_C=\vec U*(\vec I_{wl}^* \ [var]\end{align*}$

Herefter kan den samlede effekt (tilsyneladende effekt) beregnes. Det er den effekt vi dimensionere anlæg efter.

$\begin{align*}&\vec S=\vec U*\vec I^* \ [VA] \\&\vec S=\vec P+\vec Q=\vec P+\vec Q_L+\vec Q_C\ [VA]\end{align*}$

Herved er teorien for parallelforbindelser beregnet, og vi kan nu gå videre til eksemplerne.

Beregningseksempler – Parellelforbindelse

Figur 24: Parallelforbindelse eksempel 1

Eksempel 1: Beregning af strømmene

En parallelforbindelse med en resistans, en induktans og en kapacitans er tilkoblet en vekselstrømskreds. Strømmen gennem resistansen er 2 ampere, igennem induktansen er 1,1 ampere og igennem kapacitansen er 0,5 ampere. Hvad er parallelforbindelsen samlede strøm?

Almindelig beregning

Da strømmene er forskudt, anvendes pythagoras for at finde resultatet

$\begin{align*}&I=\sqrt{I_R^2+(I_L-I_C)^2} \\&\Updownarrow \\&I=\sqrt{2^2+(1,1-0,5)^2}=2,09 \ [A]\end{align*}$

Bemærk at den induktive strøm er størst, og derved trækkes den kapacitive fra den induktive strøm.

Vektorielt beregning

Strømmen lægges sammen vektorielt, da de er forskudt i forhold til hinanden.

$\begin{align*}&\vec I=\vec I_R+\vec I_L+\vec I_C \\&\Updownarrow \\&I=(2 \angle 0^\circ)+(1,1 \angle -90^\circ)+(0,5\angle 90^\circ)=2,09 \ [A] \angle -16,70^\circ\end{align*}$

Eksempel 2: Beregning af værdierne i en parallelforbindelse

Figur 25: Parallelforbindelse eksempel 2

Der er koblet en resistans på 45 Ohm, en induktans på 80 mili Henry og en kapacitans på 318 mikro Farad. Beregn strømmene, effekterne og spændingerne, når der løber en strøm på 10 ampere igennem kondensatoren. Frekvensen er 50 Hz

I dette eksempel har vi meget få oplysninger opgivet. Vi har oplysning om alle komponenterne, samt en strøm. Derved kan vi beregne alle reaktanser. Impedansen kan ikke beregnes før vi kender strømmen, da vi ikke kan lægge den sammen vektorielt grundet den specielle måde, hvorpå modstande lægges sammen i parallelforbindelse.

Først beregnes alle reaktanserne

$X_L=2\pi*f*L=2\pi*50*80*10^{-3}=25,13 \ [\Omega]$

$X_C=\frac{1}{2\pi*f*C}=\frac{1}{2\pi*50*318*10^{-6}}=10 \[\Omega]$

Herefter kan vi beregne spændingen over alle komponenter, der også er lig med den påtrykte spænding. Dette kan vi, da vi kender strømmen gennem kondensatoren, og vi samtidig ved at spændingen er ens i en parallelforbindelse.

Almindelig beregning

Beregning efter Ohms lov

$U=I_C*X_C=10*10=100 \ [V]$

Vektorielt beregning

Beregning efter Ohms lov

$\vec U=\vec I_C*\vec X_C=(10 \angle -90^\circ)*(10\angle 90^\circ)=100 \ [V] \angle 0^\circ$

Herefter kan vi beregne alle strømmene.

Almindelig beregning

Beregning af de enkelte strømme

$\begin{align*}&I_R=\frac{U}{R}=\frac{100}{45}=2,22 \ [A] \\&I_L=\frac{U}{X_L}=\frac{100}{25,13}=3,98 \ [A] \\&I_C=\frac{U}{X_C}=\frac{100}{10}=10 \ [A] \\\end{align*}$

Beregning af den samlede strøm

$I=\sqrt{I_R^2+(I_C-I_L)^2}=\sqrt{2,22^2+(10-3,98)^2}=6,42 \ [A]$

Vektorielt beregning

Beregning af de enkelte strømme

$\begin{align*}&\vec I_R=\frac{\vec U}{\vec R}=\frac{100\angle 0^\circ}{45 \angle 0^\circ}=2,22 \ [A]\angle 0^\circ \\&\vec I_L=\frac{\vec U}{\vec X_L}=\frac{100 \angle 0^\circ}{25,13 \angle 90^\circ}=3,98 \ [A] \angle -90^\circ \\&\vec I_C=\frac{\vec U}{\vec X_C}=\frac{100 \angle 0^\circ}{10 \angle -90^\circ}=10 \ [A] \angle 90^\circ\\\end{align*}$

Beregning af den samlede strøm

$\begin{align*}&\vec I=\vec I_R+\vec I_L+\vec I_C \\&\Updownarrow \\&\vec I=(2,22 \angle 0^\circ)+(3,98\angle -90^\circ)+(10\angle 90^\circ)=6,42 \ [A] \angle 69,76^\circ\end{align*}$

Til sidst beregner vi impedansen:

Almindelig beregning

Beregning af Impedansen ud fra Ohms lov

$Z=\frac{U}{I}=\frac{100}{6,42}=15,58 \ [\Omega]$

Vektorielt beregning

Beregning af Impedansen ud fra Ohms lov

$\begin{align*}&\vec Z=\frac{\vec U}{\vec I} \\&\Updownarrow \\&\vec Z=\frac{100\angle 0^\circ}{6,42\angle 69,76^\circ}=15,58 \ [\Omega]\angle -69,76^\circ\end{align*}$

Opgaven er hermed løst.

[su_related_post_in_text][bibblio style=” bib–white-label bib–row-4 bib–title-only bib–portrait bib–square” query_string_params=e30=][/su_related_post_in_text]

Blandede forbindelser

Har vi en blanding af parallel- og serieforbindelse, har vi en blandet forbindelse. For at beregne kredsløbet, gælder det om at dele kredsløbet op for at øge overskueligheden af kredsløbet. Når vi beregner blandede forbindelser, er der som altid mange forskellige muligheder for at beregne kredsløbet. Jeg vil igen forklare vektorielt beregning, og trekantsberegninger.

Tager vi udgangspunktet i kredsløbet på figur 26, har vi en spole og en modstand i serie med hinanden. De er parallel med en kondensator og modstand i serie. Derved har vi to serieforbindelser i parallel med hinanden. Derved kan vi hurtig konkludere, at strømmen gennem $R_1$ og $X_C$ er ens, og at strømmen igennem $R_2$ og $X_L$ er ens. Derudover ved vi, at den påtrykte spænding er lig med summen af spændingsfaldet over $R_1$ og $X_C$ samt summen af $R_2$ og $X_L$ .

Beregning af reaktans og impedanserne

Vi kan oftest starte med at beregne alle reaktanserne i kredsløbet. Dette gøres som tidligere nævnt.

$X_L=2\pi*f*L\space \ [\Omega]$

$X_C=\frac{1}{2\pi*f*C} \ [\Omega]$

Kender vi samtidig de to modstand størrelser, kan vi beregne impedansen i hver serie. Vi kan ikke lægge de to impedanser sammen almindeligvis, da de er parallelforbundet. Derved skal vi beregne det ud fra den reciprokke værdi, hvilket er vanskelig med vinkler. Derfor beregner vi den samlede impedans senere, når

Almindelig beregning

Beregning af impedanserne, samt deres faseforskydningsvinkel ved hjælp af pythagoras:

$\begin{align*}&Z_1=\sqrt{R_1^2+X_C^2} \\&\angle \phi_1=cos^{-1}(\frac{R_1}{Z_1}) \\&Z_2=\sqrt{R_2^2+X_L^2} \\&\angle \phi_2=cos^{-1}(\frac{R_2}{Z_2})\end{align*}$

Vektorielt beregning

Beregning af impedansen og faseforskydningsvinkel i en formel ved hjælp af vektorielt beregning:

$\begin{align*}&\vec Z_1=\vec R_1+\vec X_C=(R_1 \angle 0^\circ)+(X_C \vac -90^\circ) \\&\vec Z_2=\vec R_2+\vec X_L=(R_1 \angle 0^\circ)+(X_L \vac 90^\circ)\end{align*}$

Beregning af strømmene i blandede forbindelser

For at beregne strømmene i de enkelte parallelforbindelser, skal vi kende enten den påtrykte spænding, eller spændingsfaldet over et komponent i hver serie. Herved kan du ved hjælp af Ohms lov beregne strømmene i hver serie. Dette vel se ud som følgende:

Almindelig beregning

Strøm i serien af kondensator og $R_1$ :

$\begin{align*}&I_1=\frac{U}{Z_1} \\&I_1=\frac{U_C}{X_C} \\&I_1=\frac{U_{R1}}{R_1}\end{align*}$

Strøm i serien af spolen og $R_2$ :

$\begin{align*}&I_2=\frac{U}{Z_2} \\&I_2=\frac{U_L}{X_L} \\&I_2=\frac{U_{R2}}{R_2}\end{align*}$

Vektorielt beregning

Strøm i serien af kondensator og $R_1$ :

$\begin{align*}&\vec I_1=\frac{\vec U}{\vec Z_1} \\&\vec I_1=\frac{\vec U_C}{\vec X_C} \\&\vec I_1=\frac{\vec U_{R1}}{\vec R_1}\end{align*}$

Strøm i serien af spolen og $R_2$ :

$\begin{align*}&\vec I_2=\frac{\vec U}{\vec Z_2} \\&\vec I_2=\frac{\vec U_L}{\vec X_L} \\&\vec I_2=\frac{\vec U_{R2}}{\vec R_2}\end{align*}$

Her skal vi bemærke, at vinklen på henholdsvis strøm 1 og 2 er modsat rettet. Dette skyldtes, at der i den ene kreds er en spole, der har en negativ strømvinkel, og at der i den anden er en kondensator, der har en positiv strømvinkel. Vinklen for strømmene er den modsatte af cosphi. Derfor er en spolens impedans vinkel +90 grader, hvor dens strøm er -90 grader.

Har vi de to strømme, kan vi nu beregne den samlede strøm i kredsløbet.

Almindelig beregning

For at beregne strømmene, skal vi have delt strømmene og i watt og wattløse komponenter. For at gøre det, skal vi kende vinklen på strømmen i hver kreds. Da vi har faseforskydningsvinkel fra impedansen, kan vi anvende denne til opdeling af strømmen.

$\begin{align*}&I_{w1}=I*cos\phi_{1} \\&I_{wl1}=I*sin\phi_{1} \\&I_{w2}=I*cos\phi_{2} \\&I_{wl2}=I*sin\phi_{2}\end{align*}$

Herefter kan de to wattstrømme lægges sammen, og derefter de wattløsestrømme. Man skal være opmærksom på de wattløsestrømme kan være induktive og kapacitive. Derfor skal kapacitive strømme have modsat fortegn, hvis den er mindre end den induktive strøm.

$\begin{align*}&I_w=I_{w1}+I_{w2} \\&I_{wl}=I_{wl1}+I_{wl2}\end{align*}$

Herefter kan vi beregne den samlede strøm ud fra pythagoras.

$I=\sqrt{I_w^2+I_{wl}^2}$

Vektorielt beregning

Beregning vektorielt er langt nemmere end beregning efter pythagoras. Her kræver det kun en enkelt beregning for at finde resultatet. Du er derfor ikke nød til at dele komponenterne op.

$\vec I=\vec I_1+\vec I_2$

Beregning af spænding

I en blandet forbindelse kan du have forskellige spændinger du skal beregne. Du kan ved hjælp af Ohms lov beregne de enkelte spændingsfald eller den samlede spændingsfald.

Tager vi udgangspunkt i figur 26, vil vi kunne beregne de forskellige spændingsfald på følgende måde:

Almindelig beregning

Beregning af spændingsfald over komponenterne

$\begin{align*}&U_{R1}=I_1*R_1 \\&U_C=I_1*X_C \\&U_{R2}=I_2*R_2 \\&U_L=I_2*X_L\end{align*}$

Beregning af den samlede spændingsfald og dermed den påtrykte spænding.

$\begin{align*}&U=I*Z \\&U=I_1*Z_1 \\&U=I_2*Z_2 \\&U=\sqrt{U_{R1}^2+U_C^2} \\&U=\sqrt{U_{R2}^2+U_L^2} \\\end{align*}$

Vektorielt beregning

Beregning af spændingsfald over komponenterne

$\begin{align*}&U_{R1}=I_1*R_1 \\&U_C=I_1*X_C \\&U_{R2}=I_2*R_2 \\&U_L=I_2*X_L\end{align*}$

Beregning af den samlede spændingsfald og dermed den påtrykte spænding.

$\begin{align*}&\vec U=\vec I*\vec Z \\&\vec U=\vec I_1*\vec Z_1 \\&\vec U=\vec I_2*\vec Z_2 \\&\vec U=\vec U_{R1}+\vec U_L\\&\vec U=\vec U_{R2}+\vec U_C \\\end{align*}$

Beregning af den samlede impedans

Den samlede impedans kan ganske enkelt beregnes ud fra Ohms lov. Hvis du kender den samlede strøm og den samlede spænding, kan impedansen beregnes.

Almindelig beregning

Beregning af impedansen ud fra Ohms lov.

$Z=\frac{U}{I}$

Vektorielt beregning

Beregning af impedansen ud fra Ohms lov.

$\vec Z=\frac{\vec U}{\vec I}$

Beregning af effekter

Til sidst kan effekterne i en blandet forbindelse også beregnes. For at beregne effekterne, kan dette gøres ved beregning af de enkelte effekter, eller ved beregning af den samlede effekt. Igen har vi tre forskellige effekter. Den reaktiveffekt, virkeeffekt og den tilsyneladende effekt.

Almindelig beregning

Beregning af effekter:

$\begin{align*}&P=U*I*cos\phi \ [W] \\&Q=U*I*sin\phi \ [var] \\&S=U*I \ [VA]\end{align*}$

Vektorielt beregning

Beregning af effekter:

$\begin{align*}&P=U*I*cos\phi \ [W] \\&Q=U*I*sin\phi \ [var] \\&\vec S=\vec U* \vec I \ [VA]\end{align*}$

Beregningseksempel – Blandede forbindelser

Figur 27: Blandede forbindelser Eksempel 1

Eksempel 1: Løsning af en simpel blandet forbindelse

Beregn alle værdierne i kredsløbet.

Vi har et kredsløb med spoler, kondensator og tre modstande. For at kunne beregne de blandede forbindelser, skal vi dele kredsløbet op i serie- og paralleforbindelse, og anvender reglerne for dette. En hurtig overblik kan vi se, at R1 er i serie med parallelforbindelsen Xc, R1+X_L og R3.

Vi har opgivet spændingsfaldet over R3. Da der i parallelforbindelser er samme spændingsfald over komponenterne, ved vi allerede nu, at der er 200V over R3, R2+XL og XC. Derudover ved vi, at den samlede strøm i kredsløbet gennemløber R1. Samtidig ved vi fra serieforbindelse reglerne, at der foregår et spændingsfald over R1.

Vi starter med at beregne strømmen gennem R3, da vi har både modstandværiden og spændingsfaldet opgivet:

Almindelig beregning

$I_{3}=\frac{U_{R3}}{R_3}=\frac{200}{100}=2 \[A]$

Vektorielt beregning

$\vec I_{3}=\frac{\vec U_{R3}}{\vec R_3}=\frac{200\angle 0^\circ}{100\angle 0^\circ}=2 \ [A] \angle 0^\circ$

For at beregne kredsløbet skal de to reaktanser beregnes, hvorefter impedanse af $X_L$ og $R_2$ kan berenges.

$X_L=2\pi*f*L=2\pi*50*80*10^{-3}=25,13 \ [\Omega]$

$X_C=\frac{1}{2\pi*f*C}=\frac{1}{2\pi*50*318*10^{-6}}=10,01 \[\Omega]$

Herefter beregnes impedansen af $X_L$ og $R_2$

Almindelig beregning

$\begin{align*}&Z_2=\sqrt{R_2^2+X_L^2}=\sqrt{55^2+25,13^2}=60,47 \ [\Omega] \\&\angle \phi=cos^{-1}(\frac{R_2}{Z_2}=cos^{-1}(\frac{55}{60,47}=24,56^\circ\end{align*}$

Vektorielt beregning

$\vec Z_2=\vec R_2+\vec X_L=(55 \angle 0^\circ)+(25,13 \angle 90^\circ)=60,47 \ [\Omega] \angle 24,56^\circ$

Herefter kan vi beregne de to strømme gennem henholdsvis $X_C$ , samt $X_L$ og $R_2$ .

Almindelig beregning

$I_C=\frac{U_{R3}}{X_C}=\frac{200}{10,01}=19,98 \ [A]$

Vi ved, at en ren kapacitiv strøm altid har en vinkel på +90 grader i forhold til spændingen over den.

$I_2=\frac{U_{R3}}{Z_2}=\frac{200}{60,47}=3,31 \[A]$

Vinklen på strømmen er faseforskydningsvinkel med modsat fortegn. Derved er vinklen -24,56 grader.

Vektorielt beregning

$\begin{align*}& \vec I_C=\frac{\vec U_{R3}}{\vec X_C}={200 \angle 0^\circ}{10,01 \angle -90^\circ}=19,98 \ [A] \angle 90^\circ \\& \vec I_2=\frac{\vec U_{R3}}{\vec Z_2}=\frac{200 \angle 0^\circ}{60,47 \angle 24,56^\circ}=3,31 \ [A] \angle -24,56^\circ\end{align*}$

Herved har vi alle strømmene i parallelforbindelsen, og derved kan de lægges sammen. Derved ved vi, fra serieforbindelsen, at den strøm der kommer til et knudepunkt er lig den der forlader knudepunktet. Derfor kan vi konkluderer, at den strøm der går gennem R1 er lig den samlede af parallelforbindelsen. Den er samtidig kredsløbets samlet strøm.

Almindelig beregning

Skal det lægges sammen almindeligvis skal strømmene deles op i watt og wattløsestrømme.

$\begin{align*}&I_{w2}=I_2*cos\phi=3,31*cos(24,56)=3,01 \[A] \\&I_{wl2}=I_2*sin(\phi)=3,31*sin(24,56)=1,37 \ [A]\end{align*}$

Da $R_3$ er ren watt strøm og $I_{w2}$ er watt delen af $R_2$ og $X_L$ kan de lægges sammen almindeligvis.

$I_w=I_{w3}+I_{w2}=2+3,01=5,01 \ [A]$

Samtidig kan de wattløsestrømme lægges sammen. Da den ene er en induktiv strøm og den anden en kapacitiv strøm, modarbejder de hinanden.

$I_{wl}=I_{wl2}-I_C=1,37-19,98=-18,61 \ [A]$

Vi har derved en kapacitiv strøm. Vi ændrer fortegn på strømmen, og husker den er kapacitiv.

$I=\sqrt{I_w^2+I_{wl}^2}=\sqrt{5,01^2+18,61^2}=19,27 \ [A]$

Da vores kapacitiv strøm var størst, er kredsløbet kapacitiv. Vi kan beregne vinklen på strømmen ved følgende måde:

$\angle I=cos^{-1}(\frac{I_w}{I})=cos^{-1}(\frac{5,01}{19,27})=74,93^\circ$

Vektorielt beregning

Ved vektorielt beregning er sammenlægning af strømme nemmere end ved almindelig beregning, der anvendes på erhvervsskolerne. Dette skyldtes, at der er færre beregninger. Derfor skal du ikke dele strømmene op i watt- og wattløsestrømme. Du kan blot lægge dem sammen med vektorer.

$\begin{align*}&\vec I=\vec I_1=\vec I_C+\vec I_2+\vec I_3 \\&\Updownarrow \\&\vec I=(19,98/ \angle 90^\circ)+(3,31\angle -24,56^\circ)+(2 \angle 0^\circ)=19,27 \ [A] \angle 74,93^\circ\end{align*}$

Vi kan ud fra vinklen konkluderer at strømmen er kapacitiv, da vi har en positiv vinkel.

Hermed er alle strømmene i kredsløbet beregnet, og vi kan nu beregne spændingsfaldene.

Da vi har R1 modstanden og strømmen igennem denne, kan vi beregne spændingsfaldet over den.

Almindelig beregning

Beregning af spændingsfaldet over $R_1$

$U_{R1}=I*R_1=19,27*45=867,06 \ [V]$

Vektorielt beregning

Beregning af spændingsfaldet over $R_1$

$\vec U_{R1}=\vec I*\vec R_1=(19,27\angle 74,93^\circ)*(45\angle 0^\circ)=867,06 \ [V] \angle 74,93^\circ$

Vi har en forskudt strøm i serieforbindelsen her, grundet den efterfølgende parallelforbindelse har forskudt strømmen. Da vi startede beregningerne valgte vi, at $U_{R3}$ var vores referencepunkt. Derfor kan vi nu se, at vores forsyningsspænding har en vinkel, når vi beregner den vektorielt.

For at beregne spændingsfaldene, er vi nød til at beregne en erstatnings impedans for modstand $R_2$ , $R_3$ og reaktanserne $X_L$ og $X_C$ . Dette kan vi ved hjælp af Ohms lov.

Almindelig beregning

Beregning af parallelforbindelsens impedans

$Z_p=\frac{U_{R3}}{I}=\frac{200}{19,27}=10,38 \ [\Omega]$

Da vi har en spænding i 0 grader, og en strøm med en vinkel på 74,93, er forskellen mellem spænding og strøm 74,93 grader. Da vi skal beregne faseforskydningen skal strømmens fortegn ændres. Derved har vi en kapacitiv impedans med en vinkel på -74,93 grader.

$\anlge \phi_p=-74,93^\circ$

Nu skal vores impedans deles op i resistans og reaktans.

$\begin{align*}&R_p=Z_p*cos\phi_p=10,38*cos(74,93)=2,70 \ [\Omega] \\&X_p=Z_p*cos\phi_p=10,38*sin(74,93)=10,02 \ [\Omega]\end{align*}$

Herefter kan vi lægge værdierne sammen med resistansen, og derved har vi den samlede impedans

$Z=\sqrt{(R_p+R_1)^2+X_p^2}=\sqrt{(2,7+45)^2+10,02^2}=48,74 \ [\Omega]$

Vektorielt beregning

Beregning af parallelforbindelsens impedans

$\begin{align*}&\vec Z_p=\frac{\vec U_{R3}}{\vec I} \\&\Updownarrow \\&\vec Z_p=\frac{200 \angle 0^\circ}{19,27 \angle 74,93^\circ}=10,38 \ [\Omega] \angle -74,93^\circ\end{align*}$

Beregning af den samlede impedans

$\begin{align*}&\vec Z=\vec Z_p+\vec R_1 \\&\Updownarrow \\&\vec Z=(\vec 10,38 \angle -74,93^\circ)+(45 \angle 0^\circ)=48,74 \ [\Omega] \angle-11,87^\circ\end{align*}$

Med den samlede impedans og strøm, kan den påtrykte spænding beregnes.

Almindelig beregning

Beregning af den påtrykte spænding

$U=I*Z=19,27*48,74=939,14 \[V]$

Vektorielt beregning

Beregning af den påtrykte spænding

$\vec U=\vec I*\vec Z=(19,27\angle 74,93^\circ)*(48,74 \angle -11,87<^\circ)=939,14 \[V] \angle 63,06^\circ$

Herefter mangler vi spændingsfaldene over $X_L$ og $R_2$ . Da modstanden $R_2$ har strøm og spænding i fase, hvorimod spolen ( $X_L$ ) har en forskydning af strømmen 90 grader bagud, vil du have to spændinger der er forskudt.

Almindelig beregning

$\begin{align*}&U_L=I_2*X_L=3,31*25,13=83,12 \ [V] \\&U_{R2}=I_2*R_2=3,31*55=181,91 \ [V]\end{align*}$

Vi kan kontrollere om resultatet er rigtig ved at lægge de to spændingerne sammen ved hjælp af pythagoras.

$U_{R3}=\sqrt{U_{R2}+U_L^2}=\sqrt{181,91^2+83,12^2}=200 \ [V]$

Vektorielt beregning

$\begin{align*}&\vec U_L=\vec I_2*\vec X_L=(3,31\angle -24,56^\circ)*(25,13\angle 90^\circ)=83,12 \ [V] \angle 65,44^\circ \\&\vec U_{R2}=\vec I_2*\vec R_2=(3,31\angle -24,56^\circ)*(55 \angle 0^\circ)=181,91 \[V] \angle -24,56^\circ\end{align*}$

Vi kan her kontrollere os selv

$\vec U_{R3}=\vec U_L+\vec U_{R2}=(83,12 \angle 65,44^\circ)+(181,91 [V] \angle -24,56^\circ)=200 \ [V]\angle 0^\circ$

Til sidst mangler vi blot at få beregnet alle effekterne i kredsløbet. Dette gøres ved hjælp af effektreglen. Vi kan gøre det på flere måder, både ved beregning af hver enkelt komponent eller ved at dele det mere op.

Almindelig beregning

Beregning af virkeeffekterne

$\begin{align*}&P_1=U_{R1}*I=867,06*19,27=16706,62 \ [W] \\&P_2=U_{R2}*I_2=181,91*3,31=601,64 \ [W] \\&P_3=U_{R3}*I_3=200*2=400 \ [W] \\\end{align*}$

Beregning af wattløse effekter

$\begin{align*}&Q_L=U_L*I_2=83,12*3,31=274,93 \ [var] \\&Q_C=U_{R3}*I_C=200*19,98=3996,11 \ [var]\end{align*}$

Beregning af tilsyneladende effekter

Beregning af den tilsyneladende effekt:

$\begin{align*}& S=\sqrt{(P_1+P_2+P_3)^2+(Q_C-Q_L)^2)} \\&\Updownarrow \\& S=\sqrt{(16706,62+601,64+400)^2+(3996,11-274,93)^2)}=18095,02 \ [VA]\end{align*}$

Vi kan kontrollere os selv ved at beregne med den påtrykte spænding og den samlede strøm.

$S=U*I=939,15*19,27=18095,52 \ [VA]$

Resultatet afviger en smule fra hinanden. Dette kan skyldes afrundinger mm. Da forskellen er minimal i forhold til beregningens størrelse ses dette som ubetydeligt.

Vektorielt beregning

Beregning af virkeeffekterne

$\begin{align*}&\vec P_1=\vec U_{R1}*\vec I^*=(867,06 \angle 74,93^\circ)*(19,27 \angle 74,93^\circ)^*=16706,62 \ [W] \angle 0^\circ \\&\vec P_2=\vec U_{R2}*\vec I_2^*=(181,91 \angle -24,56^\circ)*(3,31 \angle - 24,56^\circ)^*=601,64 \ [W] \angle 0^\circ \\&\vec P_3=\vec U_{R3}*\vec I_3^*=(200 \angle 0^\circ)*(2 \angle 0^\circ)^*=400 \ [W] \angle 0^\circ\end{align*}$

Beregning af wattløse effekter

$\begin{align*}&\vec Q_L=\vec U_L*\vec I_2^*=(83,12 \angle 65,44^\circ)*(3,31 \angle -24,56^\circ)^*=274,93 \ [var] \angle 90^\circ \\&\vec Q_C=\vec U_{R3}*\vec I_C^*=(200 \angle 0^\circ)*(19,98 \angle 90^\circ)^*=3996,11 \ [var] \angle -90^\circ\end{align*}$

Beregning af tilsyneladende effekter

Beregning af den tilsyneladende effekt:

$\begin{align*}&\vec S=\vec P_1+\vec P_2+\vec P_3+\vec Q_L+\vec Q_C \\&\Updownarrow \\&\vec S=(16706,6\angle 0)+(601,6\angle 0)+(400\angle 0)+(274,9\angle 90)+(3996,1\angle -90) \\&\Updownarrow \\&\vec S= 18095,02 \ [VA] \angle -11,87^\circ\end{align*}$

Vi kan kontrollere os selv ved at beregne med den påtrykte spænding og den samlede strøm.

$\begin{align*}&\vec S=\vec U*\vec I^*=(939,15 \angle 63,06^\circ)*(19,27 \angle 74,93^\circ) \\&\Updownarrow \\&\vec S=18097,21 \ [VA] \angle -11,87^\circ \\\end{align*}$

Resultatet afviger en smule fra hinanden. Dette kan skyldes afrundinger mm. Da forskellen er minimal i forhold til beregningens størrelse ses dette som ubetydeligt.

Hermed er vores eksempel beregnet færdig:

Vekselstrømsteori

Faseforskydning og effekter i vekselstrøm

Læs mere »

3-faset vekselstrømsteori

Fasekompensering – Teori og virkemåde

Læs mere »

Vekselstrømsteori

Vekselstrøm (AC) – teori, impedans og reaktans

Læs mere »

FAQ: Serie-, parallel- og blandede forbindelser

Hvad er en serieforbindelse ved vekselstrøm? En serieforbindelse ved vekselstrøm er et kredsløb hvor alle komponenter er koblet i forlængelse af hinanden. Strømmen er ens og bruges som referenceværdi (0°). Spændingsfaldet over de enkelte komponenter er forskudt i forhold til strømmen afhængigt af belastningstypen. Den samlede spænding beregnes med Pythagoras: U = √(UR² + (UL − UC)²).

Hvad er en parallelforbindelse ved vekselstrøm? En parallelforbindelse ved vekselstrøm er et kredsløb hvor alle komponenter er koblet side om side med samme spænding over sig. Spændingen er fast og bruges som referenceværdi (0°). Strømmene fordeler sig afhængigt af komponenternes impedans. Den samlede strøm beregnes med Pythagoras: I = √(Iw² + Iwl²).

Hvad er forskellen på serieforbindelser ved jævnstrøm og vekselstrøm? Ved jævnstrøm lægges alle størrelser direkte sammen. Ved vekselstrøm er strøm og spænding forskudt på grund af reaktans, og størrelserne skal lægges sammen vektorielt. Princippet er det samme — strøm er konstant i serie, spænding er konstant i parallel — men beregningsmetoden er anderledes.

Hvad er forskellen på pythagoras-metoden og vektorberegning? Begge metoder giver samme resultat. Pythagoras-metoden beregner størrelse og vinkel i to separate trin og kræver en standard lommeregner. Vektorberegning kombinerer størrelse og vinkel i én operation og er hurtigere ved komplekse kredsløb med mange komponenter — bl.a. ved elinstallatørprøven hvor tid er vigtig.

Hvad er fremgangsmåden ved serieforbindelser? Beregn først impedansen Z = √(R² + X²), derefter strømmen I = U / Z, og gå derefter baglæns for at finde individuelle spændingsfald. Lav en tabel med U, I, Z og effekter for det bedste overblik. Kontrollér at summen af spændingsfaldene via Pythagoras stemmer med den påtrykte spænding.

Hvad er fremgangsmåden ved parallelforbindelser? Beregn først de individuelle strømme Iw = U/R, IL = U/XL og IC = U/XC. Find derefter den samlede wattløse strøm Iwl = IL − IC (eller omvendt — træk altid den mindste fra den største). Beregn til sidst den samlede strøm via Pythagoras: I = √(Iw² + Iwl²). Kontrollér med S = U × I.

Hvad er en blandet forbindelse ved vekselstrøm? En blandet vekselstrømsforbindelse er en kombination af serie- og paralleldele i samme kredsløb. Fremgangsmåden er den samme som ved jævnstrøm — identificer hvilke komponenter der gennemløbes af samme strøm (serie) og hvilke der har samme spænding (parallel), og beregn erstatningsimpedanser trin for trin. Husk at bruge vektoriel addition og ikke direkte addition.

Claus Hansen

Jeg er uddannet elektriker og maskinmester med mange års erfaring inden for elinstallationer, elteori og undervisning. Elbogen.dk er mit forsøg på at gøre den faglige viden mere tilgængelig — uanset om du er lærling der kæmper med teorien, studerende der skal bruge en formelsamling, eller erfaren fagperson der trænger til et hurtigt opslag. Siden er bygget op over de emner, jeg selv har savnet gode danske forklaringer på. Indholdet er skrevet så det er let at forstå, uden at gå på kompromis med den faglige præcision. Har du spørgsmål, rettelser eller forslag til nye emner? Jeg hører gerne fra dig via kontaktsiden. Følg Elbogen.dk på Facebook og få besked, når der kommer nye indlæg.

Følg os på Facebook og bliv opdateret på de nyeste indlæg